捕食者和獵物的關係玩這麼多，再來看個以前就寫過的東西：食物鏈的模擬模型Lotka-Volterra equation與食物鏈模擬軟體。現在呢就做了一個線上互動程式來玩
https://chihhsiangchien.github.io/Lotka-Volterra_equations/index.html
想像一片草原，上面住著一群快樂的兔子和一些虎視眈眈的狐狸。兔子的數量會一直增加嗎？狐狸會把兔子都吃光嗎？大自然中，捕食者（像是狐狸）和獵物（像是兔子）的數量是如何變化的呢？
點進頁面後是一個「洛特卡－沃爾泰拉方程式」模擬器(Lotka–Volterra equations)。聽起來很可怕，但它的概念很簡單！這些方程式描述了：
- 獵物（兔子）的增長：如果沒有捕食者，獵物會因為食物充足而快速繁殖。
- 獵物被捕食：獵物越多，捕食者能吃到的也越多，所以獵物數量會減少。
- 捕食者（狐狸）的增長：捕食者吃了獵物後，才能獲得能量來繁殖後代。
- 捕食者的衰亡：如果獵物太少，捕食者會因為食物不足而數量減少。
在模擬器裡，你可以調整幾個參數：
- α (獵物生長率)：想像一下，如果沒有狐狸，兔子繁殖的速度有多快？這個數字越大，兔子軍團就擴張得越快！
- β (捕食率)：狐狸抓兔子的「成功率」。這個數字越大，兔子被狐狸盯上的機會就越高。
- δ (轉化率)：狐狸吃了兔子後，能把它們轉化成「新狐狸」的效率。
- γ (捕食者死亡率)：如果沒有兔子吃，狐狸餓肚子的速度。這個數字越大，狐狸就越容易GG。
- 初始獵物/捕食者數量 (x₀, y₀)：遊戲一開始，草原上有多少隻兔子和狐狸。
調整參數隨即會看到圖表的變化：
- 數量隨時間變化圖：這張圖會畫出兔子和狐狸的數量隨著時間的推移，如何一波未平一波又起地變化。你會發現，通常兔子的數量先達到高峰，然後狐狸的數量才跟著上升；當兔子變少，狐狸也會跟著變少。這種「你先我後」的現象，就是所謂的「相位差異」。（如果沒有差異，那就會是同步變化了）
- 相位圖：這張圖把狐狸的數量當作X軸，兔子的數量當作Y軸。你會看到一條封閉的曲線，像是一個永無止境的追逐遊戲，展現了牠們之間循環消長的關係。
- 試試看改變 α 或 γ，看看族群高峰出現的時間點（相位）是不是也跟著變了呢？這就是間接控制相位差異的感覺！
為了更容易理解相位，所以同一個頁面上有另一個按鈕，可以進入相位示範模式，這是用來觀察「相位差異」
振幅 (Amplitude)：代表族群數量的最大變化幅度。
週期 (Period)：代表族群數量循環一次的時間。
在這個模式中，你可以獨立調整獵物和捕食者的振幅與週期：你可以讓兔子的數量波動很大、週期很短，同時讓狐狸的數量波動很小、週期很長，看看會發生什麼事。
直接控制相位差 (φ)：你可以直接設定捕食者的週期比獵物晚開始多少。例如，設定 -0.25，就代表捕食者的數量高峰會比獵物晚四分之一個週期出現。週期的變化也同時改變了相位圖的樣子。
我朋友解過一題97學年度生物指考的題目，正是在說這個現象，而這題答案給了D。
雖然是十幾年前的考題，但我還是來炒冷飯分析一下，套一個網格在題目的圖片上
你可以參考我的數字打進去模擬程式，四個選項的差異主要來自相位差。如果是差1/4個週期，那麼答案應該是個圓，若是振幅不同，則會從圓變成橢圓（看是長橢圓還是扁橢圓，例如選項A）。而如果是選項的B或D，那麼就是要改相位差了。當時這題的答案給D，嗯....
現在我用關鍵字「某捕食者與其獵物族群大小隨時間變化的關係」也可以看到一些高中的考題有考這個題目，但是答案真的是那樣嗎？
